НАБЛИЖЕНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ СТАЦІОНАРНОЇ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ З ЕКСТРЕМАЛЬНОЮ ГРАНИЧНОЮ УМОВОЮ

Анотація

Широке коло прикладних задач математичної фізики, астрофізики приводить до пошуку розв’язків задач мінімізації квадратичних функціоналів. Зокрема, задачі мінімізації квадратичних функціоналів виду (Au)(x) g(x) (x) (Au)(x) g(x) dx inf Rn 2 2 з операторами згортки (Au)(x) k(x s)u(s)ds, Rn часто зустрічаються в теорії механізмів, лінійних електричних та радіотехнічних ланцюгів, оптимальних фільтрів, систем регулювання. Некоректні задачі для лінійних рівнянь також приводяться до розв’язку задач мінімізації квадратичних функціоналів. Відомо, що екстремальні задачі допускають розв’язки у явному вигляді лише в деяких окремих випадках. Тому побудова та обґрунтування методів їх наближеного розв’язання має значний теоретичний та практичний інтерес. Застосування чисельних методів відкриває можливості побудови розв’язків нових екстремальних задач для рівнянь математичної фізики та алгоритмізації цього процесу. У роботі поставлена задача стаціонарної теплопровідності з екстремальною граничною умовою. За допомогою перетворення Фур’є та формул Сохоцького вона зводиться до розв’язання матричної задачі Рімана на дійсній осі з непозитивною системою часткових індексів. Доведена еквівалентність цих задач з точки зору їх розв’язності та формули, які виражають залежність розв’язку екстремальної задачі від розв’язків відповідної задачі Рімана. На основі дослідження задачі Рімана встановлено умови нормальної розв’язності екстремальної задачі. Наближені розв’язки екстремальної задачі будуються на основі наближених розв’язків задачі Рімана. Запропоновано та обґрунтовано проекційний метод їх знаходження. Проведена оцінка збіжності наближених розв’язків екстремальної задачі до її точного розв’язку. Досліджено також винятковий випадок екстремальної задачі та побудовано відповідні наближені розв’язки. Окрім того, проведено чисельний експеримент для конкретних значень параметрів задачі, результати якого повністю узгоджуються з теоретичними висновками. Це підтверджує високу ефективність запропонованого методу побудови наближених розв’язків екстремальних задач математичної фізики. Отримані результати можуть бути використані при розв’язанні задач теорії пружності та термопружності, теплопровідності та інших прикладних задач.